Một Số Dạng Bài Tập Về Phương Trình Đường Tròn & Lý Thuyết.

Bài tập về phương trình đường tròn​

1. Hướng dẫn các cách giải phương trình đường tròn:

Hướng dẫn cách giải bài tập về phương trình đường tròn
Bài tập về phương trình đường tròn có thể xuất hiện dưới nhiều dạng khác nhau trong toán học. Để giải bài tập về phương trình đường tròn, ta có thể áp dụng các phương pháp sau:

1. Chuyển phương trình tổng quát về phương trình chính tắc

Khi gặp một phương trình chứa cả 𝑥^2 và  𝑦^2 cùng với các số hạng khác, ta cần đưa nó về dạng dễ hiểu hơn.
Cách thực hiện: Nhóm các số hạng có cùng biến lại với nhau, sau đó thực hiện phương pháp "hoàn thành bình phương" để đưa phương trình về dạng quen thuộc thể hiện rõ tâm và bán kính của đường tròn.
Kết quả thu được sẽ giúp ta dễ dàng xác định được tâm và bán kính của đường tròn.

2. Tìm giao điểm giữa đường tròn và đường thẳng

Khi cần tìm giao điểm giữa một đường tròn và một đường thẳng, ta có thể thay biểu thức của một biến từ phương trình đường thẳng vào phương trình đường tròn.
Sau khi thay thế, ta thu được một phương trình chỉ còn một ẩn. Giải phương trình này sẽ giúp ta tìm ra giá trị của biến còn lại.

Lý thuyết

Sau khi có một giá trị, ta thay ngược trở lại vào phương trình đường thẳng để tìm tọa độ điểm giao.
Dựa vào số nghiệm tìm được, ta có thể xác định xem đường thẳng cắt, tiếp xúc hay không giao với đường tròn.

3. Xác định phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Khi yêu cầu tìm phương trình tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn, ta sử dụng công thức đặc biệt để thiết lập phương trình của đường thẳng tiếp xúc tại điểm đó.
Để làm điều này, ta dựa vào tính chất rằng tiếp tuyến của đường tròn luôn vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
Nếu đề bài yêu cầu tìm tiếp tuyến qua một điểm không nằm trên đường tròn, ta sẽ giải hệ phương trình để xác định xem có thể có tiếp tuyến nào đi qua điểm đó hay không.

4. Tìm giao điểm giữa hai đường tròn

Khi cần tìm giao điểm của hai đường tròn, ta có thể trừ hai phương trình của chúng để loại bỏ những thành phần bậc hai.
Phương pháp này giúp ta thu được một phương trình bậc nhất, tức là phương trình của một đường thẳng.
Sau đó, ta giải hệ phương trình giữa đường thẳng này và một trong hai đường tròn ban đầu để tìm ra tọa độ các giao điểm.
Dựa vào số nghiệm tìm được, ta có thể xác định xem hai đường tròn cắt nhau, tiếp xúc hay không giao nhau.

5. Giải bài toán đường tròn trong không gian Oxyz

Khi bài toán liên quan đến hình học không gian, đường tròn có thể được biểu diễn thông qua một mặt phẳng và một điểm trung tâm cùng với bán kính.
Để giải bài toán này, ta thường tìm giao điểm giữa một mặt phẳng và một mặt cầu, sau đó xác định hình dạng quỹ tích thu được.
Kết luận
Khi giải phương trình liên quan đến đường tròn, điều quan trọng nhất là xác định dạng phương trình và chọn phương pháp phù hợp. Một số bước quan trọng bao gồm:
Đưa phương trình về dạng chuẩn để dễ phân tích.
Áp dụng hệ phương trình khi làm việc với giao điểm hoặc tiếp tuyến.
Xác định số nghiệm để biết mối quan hệ giữa đường thẳng, đường tròn hoặc giữa hai đường tròn.
Nắm vững các phương pháp trên sẽ giúp ta giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến đường tròn trong hình học giải tích.
Tham khảo: Đại học quốc gia Hà Nội
 

2. Gợi ý 10 bài tập về phương trình đường tròn:

Đề bài 1: Cho phương trình x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0. Hãy đưa phương trình này về dạng chính tắc và xác định tâm, bán kính.
Đề bài 2: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1; 2), B(4; 5); C(6; -1).
Đề bài 3: Viết phương trình đường tròn có tâm I(3; -2) và bán kính R=5.
Đề bài 4: Tìm giao điểm của đường tròn (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9 và đường thẳng y= 2x - 3
Đề bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 16 tại điểm M(0; 2).

Lý thuyết bổ sung cho bài tập

Đề bài 6: Xác định số giao điểm của hai đường tròn: 
* (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25.
* (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16
Đề bài 7: Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có các đỉnh A(1; 3); B(5; 1); C(4; 6).
Đề bài 8: Viết phương trình đường tròn có tâm I(2,−1) và tiếp xúc với đường thẳng x + y - 5 = 0
Đề bài 9: Kiểm tra xem bốn điểm A(1; 2), B(3; 4); C(6; 2); D(4; -1) có cùng nằm trên một đường tròn hay không.
Đề bài 10: Tìm phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 3); B(5; 7) đồng thời tiếp xúc với đường thẳng x−2y+3=0.

3. Lý thuyết về phương trình đường tròn:

Định nghĩa đường tròn
Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng có cùng khoảng cách đến một điểm cố định, gọi là tâm của đường tròn. Khoảng cách này không đổi và được gọi là bán kính.
Phương trình chính tắc của đường tròn
Khi biết tâm và bán kính, phương trình đường tròn có thể viết dưới dạng chính tắc, giúp xác định nhanh các yếu tố quan trọng như tọa độ tâm và độ dài bán kính.
Phương trình tổng quát của đường tròn
Dạng tổng quát của phương trình đường tròn thường chứa nhiều số hạng hơn, yêu cầu biến đổi để đưa về dạng chính tắc bằng phương pháp hoàn thành bình phương.
Xác định phương trình đường tròn
Để lập phương trình đường tròn, ta có thể dựa vào các dữ kiện như tâm và bán kính, ba điểm thuộc đường tròn hoặc các tính chất tiếp xúc.
Giao điểm giữa đường tròn và đường thẳng
Khi xét giao điểm, ta thay phương trình đường thẳng vào phương trình đường tròn và giải hệ phương trình để tìm số nghiệm.

Bài giải mẫu

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất, có thể xác định bằng cách sử dụng điều kiện tiếp xúc hoặc dựa vào tính vuông góc với bán kính.
Xét vị trí tương đối giữa đường tròn và đường thẳng
Một đường thẳng có thể cắt đường tròn tại hai điểm, tiếp xúc tại một điểm hoặc không giao nhau tùy vào số nghiệm của hệ phương trình liên quan.
Xét vị trí tương đối giữa hai đường tròn
Hai đường tròn có thể cắt nhau, tiếp xúc hoặc không giao nhau, điều này được xác định dựa trên khoảng cách giữa hai tâm so với tổng và hiệu của bán kính.
Ứng dụng của phương trình đường tròn
Các bài toán liên quan đến phương trình đường tròn thường xuất hiện trong hình học giải tích, bao gồm tìm giao điểm, xác định tiếp tuyến và xét vị trí tương đối với các đường thẳng hoặc đường tròn khác.

4. Tính chất phương trình đường tròn:

Tập hợp điểm xác định đường tròn
Phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm trong mặt phẳng có cùng khoảng cách đến một điểm cố định gọi là tâm. Khoảng cách này chính là bán kính của đường tròn.
Dạng phương trình chính tắc
Khi biết tâm và bán kính, phương trình đường tròn có thể viết dưới dạng đơn giản giúp xác định rõ tâm và bán kính mà không cần biến đổi phức tạp.
Dạng phương trình tổng quát
Phương trình tổng quát của đường tròn có nhiều số hạng hơn, nhưng có thể được biến đổi về dạng chính tắc bằng phương pháp hoàn thành bình phương để tìm tâm và bán kính.
Điều kiện để một phương trình biểu diễn đường tròn
Một phương trình bậc hai của 𝑥 và 𝑦 chỉ biểu diễn đường tròn nếu các hệ số thỏa mãn điều kiện nhất định về mặt toán học, đảm bảo đường tròn có tâm và bán kính xác định.
Số giao điểm với đường thẳng
Khi xét giao điểm giữa đường tròn và đường thẳng, số nghiệm của hệ phương trình quyết định xem đường thẳng cắt, tiếp xúc hay không giao với đường tròn.
Tiếp tuyến của đường tròn
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất có phương trình thỏa mãn điều kiện tiếp xúc và luôn vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
Quan hệ giữa hai đường tròn
Hai đường tròn có thể cắt nhau, tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong hoặc không giao nhau, tùy thuộc vào khoảng cách giữa hai tâm và tổng hoặc hiệu của bán kính hai đường tròn.
Tính đối xứng của đường tròn
Đường tròn có tính đối xứng qua trục hoành, trục tung và gốc tọa độ. Điều này giúp dễ dàng suy luận vị trí của điểm ảnh khi phản xạ qua các trục.
Ứng dụng của phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn được ứng dụng trong nhiều bài toán hình học giải tích, đặc biệt trong việc xác định giao điểm, tiếp tuyến và các tính chất hình học khác trong không gian phẳng.